Cauchy-féle középértéktétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈt͡sɒuxifeːlɛkøzeːpeːrteːkteːtɛl]

Főnév

Cauchy-féle középértéktétel

1. (matematika) A Cauchy-féle középértéktétel (vagy Cauchy középértéktétele) a differenciálszámítás egyik fontos tétele, amely általánosítja a Lagrange-féle középértéktételt. A tétel a következőképpen szól:

Legyen ${\textstyle f}$ és ${\textstyle g}$ két olyan függvény, amelyek differenciálhatók az ${\textstyle [a,b]}$ intervallumon, és folytonosak a zárt ${\textstyle [a,b]}$ intervallumon. Ha továbbá ${\textstyle g'(x)\neq 0}$ minden ${\textstyle x\in (a,b)}$ esetén, akkor létezik olyan ${\textstyle \xi \in (a,b)}$, amelyre teljesül:

$${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}.$$

Ez a tétel a Lagrange-féle középértéktétel egy általánosabb változata, amely két függvény arányáról szól, és az egyik függvény deriváltjaival kapcsolja össze őket.

---

Cauchy-féle középértéktétel

A **Cauchy-féle középértéktétel** a komplex analízis egyik alapvető eredménye, amely a holomorf függvények értékét köti össze egy zárt görbe mentén vett görbeintegráljával. Ez a tétel fontos következménye a Cauchy-féle integráltételnek, és előkészíti a Cauchy-integrálformulát.

Tétel

Legyen $f(z)$ holomorf egy $U$ nyílt tartományban, és legyen $C$ egy egyszeresen összefüggő, pozitív orientációjú zárt görbe, amely teljes egészében $U$-n belül van. Ha $a$ a $C$-vel határolt tartomány belsejében található, akkor:

$$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$$

Ez azt mondja ki, hogy ha $f(z)$ holomorf, akkor a $z=a$ pontban vett értéke kifejezhető egy zárt görbe menti integrál segítségével.

---

Bizonyítás

1. A feltételek megértése

• A függvény $f(z)$ holomorf, azaz folytonosan differenciálható az $U$ tartományban.
• $a$ a $C$-vel határolt tartomány belsejében található.
• A cél annak igazolása, hogy a tételben szereplő integrál valóban $f(a)$-val egyenlő.

---

2. A függvény átalakítása

Tekintsük az integrálban szereplő függvényt:

$$g(z)={\frac {f(z)}{z-a}}.$$

Ez a függvény holomorf minden $z\neq a$ pontban, mert $f(z)$ holomorf, és $z-a\neq 0$ a görbén kívül. Az integrál viszont tartalmazza $z=a$-t, ahol a nevező nullává válik, ezért külön kell vizsgálni a $z=a$ pont környezetét.

---

3. Lokális vizsgálat a $z=a$ pontban

A $f(z)$ függvény Taylor-sor alakban kifejezhető a $z=a$ környezetében:

$$f(z)=f(a)+f'(a)(z-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(z-a)^{2}+\dots$$

A $g(z)$ függvényt behelyettesítve:

$$g(z)={\frac {f(z)}{z-a}}={\frac {f(a)}{z-a}}+f'(a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(z-a)+\dots$$

---

4. Az integrál kiszámítása

Az $\oint _{C}g(z)\,dz$ integrált vizsgálva, az $g(z)$-t a fenti alak szerint bontjuk:

$$\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz=\oint _{C}{\frac {f(a)}{z-a}}\,dz+\oint _{C}f'(a)\,dz+\oint _{C}{\frac {f''(a)}{2!}}(z-a)\,dz+\dots$$

Az $\oint _{C}f'(a)\,dz$ és az összes magasabb rendű tag integrálja nulla, mivel ezek a függvények holomorfak $U$-ban, és a Cauchy-féle integráltétel szerint bármely holomorf függvény zárt görbe mentén vett integrálja nulla.

Így csak az első tag marad:

$$\oint _{C}{\frac {f(a)}{z-a}}\,dz.$$

Ez az integrál az $1/(z-a)$ görbeintegráljára vezethető vissza. A komplex analízisből ismert, hogy:

$$\oint _{C}{\frac {1}{z-a}}\,dz=2\pi i.$$

Ezért az eredeti integrál:

$$\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz=f(a)\cdot 2\pi i.$$

---

5. Az egyenlet rendezése

A fentiek alapján:

$$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz.$$

Ez bizonyítja a Cauchy-féle középértéktételt.

---

Összefoglalás

A tétel megmutatja, hogy egy analitikus függvény $a$ pontban vett értéke teljes egészében meghatározható egy zárt görbe menti integrál segítségével. Ez a tétel a komplex analízis egyik központi eredménye, amely a Cauchy-integrálformulára is alapot nyújt.

További információk

• Cauchy-féle középértéktétel - Értelmező szótár (MEK)
• Cauchy-féle középértéktétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Cauchy-féle középértéktétel - Szótár.net (hu-hu)
• Cauchy-féle középértéktétel - DeepL (hu-de)
• Cauchy-féle középértéktétel - Яндекс (hu-ru)
• Cauchy-féle középértéktétel - Google (hu-en)
• Cauchy-féle középértéktétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Cauchy-féle középértéktétel - Wikidata
• Cauchy-féle középértéktétel - Wikipédia (magyar)