Cayley-Hamilton-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈt͡sɒilɛihɒmiltonteːtɛl]

Főnév

Cayley-Hamilton-tétel

1. (matematika) Cayley–Hamilton-tétel a lineáris algebra, azon belül is a mátrixalgebra jelentős tétele. Azt mondja ki, hogy a komplex test feletti tetszőleges A négyzetes mátrix kielégíti saját karakterisztikus egyenletét. A tételt először Hamilton bizonyította 1862-ben, de csak egy speciális esetben, a kvaterniók által alkotott vektortérre.

---

Cayley–Hamilton-tétel

Definíció

A Cayley–Hamilton-tétel a lineáris algebra egyik alapvető tétele, amely kimondja:

Minden négyzetes mátrix kielégíti saját karakterisztikus polinomját.

Matematikai Formuláció

Legyen $A$ egy $n\times n$ méretű négyzetes mátrix, és legyen a karakterisztikus polinomja: $p(\lambda )=\det(\lambda I-A),$ ahol $I$ az egységmátrix. A $p(\lambda )$ egy $n$-ed fokú polinom: $p(\lambda )=c_{n}\lambda ^{n}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +c_{1}\lambda +c_{0},$ ahol a $c_{i}$ a polinom együtthatói. A tétel szerint: $p(A)=0,$ azaz: $c_{n}A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\dots +c_{1}A+c_{0}I=0,$ ahol $0$ a nullmátrix.

Fontos Fogalmak

Karakterisztikus polinom

- Egy $A$ mátrix karakterisztikus polinomja a következőképpen definiált: $p(\lambda )=\det(\lambda I-A),$ ahol $\det$ az $\lambda I-A$ mátrix determinánsa.

Sajátérték és sajátvektor

- A karakterisztikus polinom gyökei a mátrix sajátértékei, azaz azok az $\lambda$ értékek, amelyekre létezik nem nullvektor $v$, hogy: $Av=\lambda v.$

Nullmátrix

- Egy mátrix minden eleme nulla ($0$).

Cayley–Hamilton-tétel Bizonyítása

1. Karakterisztikus polinom és mátrixhelyettesítés

- Legyen $p(\lambda )$ a $A$ mátrix karakterisztikus polinomja: $p(\lambda )=\det(\lambda I-A).$ - A $p(A)$ mátrixpolinomot a $\lambda$ változó helyére $A$-t helyettesítve kapjuk: $p(A)=c_{n}A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\dots +c_{1}A+c_{0}I.$

2. Algebrai manipulációk

- A determináns definíciója szerint $p(\lambda )$ megadja az $A-\lambda I$ mátrix sajátértékeinek helyét, azaz a determináns $0$-val való egyenlőségét. - A mátrixszorzás és polinomhelyettesítés megőrzi az algebrai struktúrát, így a $p(A)$-ra való helyettesítés is érvényes.

3. Helyettesítés és nullmátrix

- Helyettesítsük be $A$-t a polinom egyenletébe: $p(A)=c_{n}A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\dots +c_{1}A+c_{0}I.$ - A tétel szerint: $p(A)=0,$ ami azt jelenti, hogy $p(A)$ a nullmátrixot adja eredményül.

4. Alternatív bizonyítás (Jordan-forma segítségével)

- Egy mátrix mindig diagonizálható, vagy Jordan-formára hozható. - A Cayley–Hamilton-tétel igaz a diagonális mátrixokra, mivel a karakterisztikus polinom gyökei (sajátértékek) a diagonális elemek. - A Jordan-forma esetén a polinom helyettesítése szintén nullmátrixot eredményez.

Példa

Legyen

$A={\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}}.$

1. Karakterisztikus polinom

$p(\lambda )=\det(\lambda I-A)=\det {\begin{bmatrix}\lambda -2&-1\\-1&\lambda -3\end{bmatrix}}.$ $p(\lambda )=(\lambda -2)(\lambda -3)-(-1)(-1)=\lambda ^{2}-5\lambda +5.$

2. A tétel állítása

Helyettesítsük be $A$-t a $p(\lambda )$-ba: $p(A)=A^{2}-5A+5I.$

3. Mátrixszorzások

Számítsuk ki $A^{2}$: $A^{2}={\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&5\\5&10\end{bmatrix}}.$ Számítsuk ki $-5A$ és $5I$: $-5A={\begin{bmatrix}-10&-5\\-5&-15\end{bmatrix}},\quad 5I={\begin{bmatrix}5&0\\0&5\end{bmatrix}}.$

4. Összegzés

$p(A)=A^{2}-5A+5I={\begin{bmatrix}5&5\\5&10\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-10&-5\\-5&-15\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5&0\\0&5\end{bmatrix}}.$ $p(A)={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.$

Fontos Következmények

1. Mátrixok tulajdonságai:

  - A Cayley–Hamilton-tétel segítségével mátrixok hatványaira vonatkozó számítások egyszerűsíthetők.

1. Sajátértékek és sajátvektorok:

  - A tétel segítségével sajátértékekkel kapcsolatos problémák kezelhetők.

1. Lineáris differenciálegyenletek:

  - A mátrixexponenciális számításában fontos szerepet játszik.

1. Numerikus módszerek:

  - A mátrixalgebra gyakorlati alkalmazásaiban hasznos.

Összegzés

A Cayley–Hamilton-tétel megmutatja, hogy minden mátrix kielégíti saját karakterisztikus polinomját, ami az algebrai és numerikus módszerek széles körében kulcsfontosságú eszközzé teszi. A tétel segítségével a mátrixalgebra elmélyíthető és hatékonyan alkalmazható számos problémában.

• angol: Cayley–Hamilton theorem (en)

További információk

• Cayley-Hamilton-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Cayley-Hamilton-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Cayley-Hamilton-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Cayley-Hamilton-tétel - DeepL (hu-de)
• Cayley-Hamilton-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Cayley-Hamilton-tétel - Google (hu-en)
• Cayley-Hamilton-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Cayley-Hamilton-tétel - Wikidata
• Cayley-Hamilton-tétel - Wikipédia (magyar)