négyzetes mátrix
Kiejtés
- IPA: [ ˈneːɟzɛtɛʃmaːtriks]
Főnév
- (matematika, lineáris algebra) A négyzetes mátrix avagy kvadratikus mátrix olyan mátrix, melyben a sorok és oszlopok száma megegyezik. A kvadratikus mátrix sorainak (és oszlopainak) száma a mátrix rendje, ami egy pozitív természetes szám. Adott n-re egy gyűrű feletti n-ed rendű, azaz az -es mátrixok összessége algebrát alkot.
- oszlopvektorok lineárisan függetlenek
- ( determinánsa nem 0.)
- ( rangja , a mátrix teljes rangú)
Egy négyzetes mátrix (angolul “square matrix”) egy olyan mátrix, amelyben a sorok és az oszlopok száma megegyezik (például 2x2, 3x3, stb.). Pythonban a NumPy könyvtárral könnyedén létrehozhatunk négyzetes mátrixokat, végezhetünk rajtuk műveleteket, és elemezhetjük őket.
1. Négyzetes mátrix létrehozása
Egyszerű példák:
import numpy as np
# 2x2-es mátrix
matrix_2x2 = np.array([[1, 2],
[3, 4]])
# 3x3-as mátrix
matrix_3x3 = np.array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
print("2x2-es mátrix:\n", matrix_2x2)
print("\n3x3-as mátrix:\n", matrix_3x3)
2. Alapműveletek négyzetes mátrixokkal
Mátrix determinánsa:
# Determináns kiszámítása
det_2x2 = np.linalg.det(matrix_2x2)
det_3x3 = np.linalg.det(matrix_3x3)
print("2x2-es mátrix determinánsa:", det_2x2)
print("3x3-as mátrix determinánsa:", det_3x3)
Mátrix inverze:
# 2x2-es mátrix inverze
inverse_2x2 = np.linalg.inv(matrix_2x2)
print("2x2-es mátrix inverze:\n", inverse_2x2)
Mátrix transzponálása:
# Transzponált mátrix
transposed = matrix_3x3.T
print("3x3-as mátrix transzponáltja:\n", transposed)
3. Speciális négyzetes mátrixok létrehozása
Egységmátrix:
# Egységmátrix (3x3)
identity_matrix = np.eye(3)
print("Egységmátrix (3x3):\n", identity_matrix)
Nullmátrix:
# Nullmátrix (4x4)
zero_matrix = np.zeros((4, 4))
print("Nullmátrix (4x4):\n", zero_matrix)
Diagonális mátrix:
# Diagonális mátrix
diagonal_matrix = np.diag([1, 2, 3])
print("Diagonális mátrix:\n", diagonal_matrix)
4. Mátrix szorzása
Mátrix-mátrix szorzás:
A = np.array([[1, 2],
[3, 4]])
B = np.array([[2, 0],
[1, 3]])
# Mátrix szorzása
product = np.dot(A, B) # vagy A @ B
print("Mátrix szorzata:\n", product)
Mátrix-vektor szorzás:
vector = np.array([1, 2])
# Szorzás
result = np.dot(A, vector)
print("Mátrix-vektor szorzat:\n", result)
5. Mátrix elemek módosítása és szeletelése
Elemmódosítás:
# 3x3-as mátrix
matrix = np.array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
# Elem módosítása
matrix[0, 0] = 99
print("Módosított mátrix:\n", matrix)
Mátrix szeletelése:
# Felső 2x2-es részmátrix
sub_matrix = matrix[:2, :2]
print("Felső 2x2-es mátrix:\n", sub_matrix)
6. Példa: Mátrix tulajdonságainak vizsgálata
# Mátrix definiálása
matrix = np.array([[4, 7],
[2, 6]])
# Determináns
det = np.linalg.det(matrix)
print("Determináns:", det)
# Inverz mátrix
if det != 0:
inverse = np.linalg.inv(matrix)
print("Inverz mátrix:\n", inverse)
else:
print("A mátrix szinguláris, nem invertálható.")
# Sajátértékek és sajátvektorok
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)
print("Sajátértékek:", eigenvalues)
print("Sajátvektorok:\n", eigenvectors)
Kimeneti példa:
Ha a mátrix:
[[4, 7], [2, 6]]
A kimenet:
Determináns: 10.000000000000002 Inverz mátrix: [[ 0.6 -0.7] [-0.2 0.4]] Sajátértékek: [8. 2.] Sajátvektorok: [[ 0.89442719 -0.70710678] [ 0.4472136 0.70710678]]
Fordítások
- négyzetes mátrix - Értelmező szótár (MEK)
- négyzetes mátrix - Etimológiai szótár (UMIL)
- négyzetes mátrix - Szótár.net (hu-hu)
- négyzetes mátrix - DeepL (hu-de)
- négyzetes mátrix - Яндекс (hu-ru)
- négyzetes mátrix - Google (hu-en)
- négyzetes mátrix - Helyesírási szótár (MTA)
- négyzetes mátrix - Wikidata
- négyzetes mátrix - Wikipédia (magyar)