négyzetes mátrix

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈneːɟzɛtɛʃmaːtriks]

Főnév

(matematika, lineáris algebra) A négyzetes mátrix avagy kvadratikus mátrix olyan mátrix, melyben a sorok és oszlopok száma megegyezik. A kvadratikus mátrix sorainak (és oszlopainak) száma a mátrix rendje, ami egy pozitív természetes szám. Adott n-re egy gyűrű feletti n-ed rendű, azaz az $n\times n$ -es mátrixok összessége algebrát alkot.
$A_{n\times n}=\left({\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&{\dots }&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{\dots }&{a_{2n}}\\{\vdots }&{}&{\ddots }&{\vdots }\\{a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots }&{a_{nn}}\end{array}}\right)$

négyzetes mátrix akkor és csak akkor invertálható

oszlopvektorok lineárisan függetlenek
$\det(A)\neq 0$ ( $A$ determinánsa nem 0.)
$r(A_{n\times n})=n$ ( $A$ rangja $n$ , a mátrix teljes rangú)

Egy négyzetes mátrix (angolul “square matrix”) egy olyan mátrix, amelyben a sorok és az oszlopok száma megegyezik (például 2x2, 3x3, stb.). Pythonban a NumPy könyvtárral könnyedén létrehozhatunk négyzetes mátrixokat, végezhetünk rajtuk műveleteket, és elemezhetjük őket.

1. Négyzetes mátrix létrehozása

Egyszerű példák:

import numpy as np

# 2x2-es mátrix
matrix_2x2 = np.array([[1, 2],
                       [3, 4]])

# 3x3-as mátrix
matrix_3x3 = np.array([[1, 2, 3],
                       [4, 5, 6],
                       [7, 8, 9]])

print("2x2-es mátrix:\n", matrix_2x2)
print("\n3x3-as mátrix:\n", matrix_3x3)

2. Alapműveletek négyzetes mátrixokkal

Mátrix determinánsa:

# Determináns kiszámítása
det_2x2 = np.linalg.det(matrix_2x2)
det_3x3 = np.linalg.det(matrix_3x3)

print("2x2-es mátrix determinánsa:", det_2x2)
print("3x3-as mátrix determinánsa:", det_3x3)

Mátrix inverze:

# 2x2-es mátrix inverze
inverse_2x2 = np.linalg.inv(matrix_2x2)

print("2x2-es mátrix inverze:\n", inverse_2x2)

Mátrix transzponálása:

# Transzponált mátrix
transposed = matrix_3x3.T

print("3x3-as mátrix transzponáltja:\n", transposed)

3. Speciális négyzetes mátrixok létrehozása

Egységmátrix:

# Egységmátrix (3x3)
identity_matrix = np.eye(3)

print("Egységmátrix (3x3):\n", identity_matrix)

Nullmátrix:

# Nullmátrix (4x4)
zero_matrix = np.zeros((4, 4))

print("Nullmátrix (4x4):\n", zero_matrix)

Diagonális mátrix:

# Diagonális mátrix
diagonal_matrix = np.diag([1, 2, 3])

print("Diagonális mátrix:\n", diagonal_matrix)

4. Mátrix szorzása

Mátrix-mátrix szorzás:

A = np.array([[1, 2], 
              [3, 4]])
B = np.array([[2, 0], 
              [1, 3]])

# Mátrix szorzása
product = np.dot(A, B)  # vagy A @ B
print("Mátrix szorzata:\n", product)

Mátrix-vektor szorzás:

vector = np.array([1, 2])

# Szorzás
result = np.dot(A, vector)
print("Mátrix-vektor szorzat:\n", result)

5. Mátrix elemek módosítása és szeletelése

Elemmódosítás:

# 3x3-as mátrix
matrix = np.array([[1, 2, 3],
                   [4, 5, 6],
                   [7, 8, 9]])

# Elem módosítása
matrix[0, 0] = 99

print("Módosított mátrix:\n", matrix)

Mátrix szeletelése:

# Felső 2x2-es részmátrix
sub_matrix = matrix[:2, :2]

print("Felső 2x2-es mátrix:\n", sub_matrix)

6. Példa: Mátrix tulajdonságainak vizsgálata

# Mátrix definiálása
matrix = np.array([[4, 7],
                   [2, 6]])

# Determináns
det = np.linalg.det(matrix)
print("Determináns:", det)

# Inverz mátrix
if det != 0:
    inverse = np.linalg.inv(matrix)
    print("Inverz mátrix:\n", inverse)
else:
    print("A mátrix szinguláris, nem invertálható.")

# Sajátértékek és sajátvektorok
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)
print("Sajátértékek:", eigenvalues)
print("Sajátvektorok:\n", eigenvectors)

Kimeneti példa:

Ha a mátrix:

[[4, 7],
 [2, 6]]

A kimenet:

Determináns: 10.000000000000002
Inverz mátrix:
[[ 0.6 -0.7]
 [-0.2  0.4]]
Sajátértékek: [8. 2.]
Sajátvektorok:
[[ 0.89442719 -0.70710678]
 [ 0.4472136   0.70710678]]

Fordítások

angol: square matrix (en)

További információk

négyzetes mátrix - Értelmező szótár (MEK)
négyzetes mátrix - Etimológiai szótár (UMIL)
négyzetes mátrix - Szótár.net (hu-hu)
négyzetes mátrix - DeepL (hu-de)
négyzetes mátrix - Яндекс (hu-ru)
négyzetes mátrix - Google (hu-en)
négyzetes mátrix - Helyesírási szótár (MTA)
négyzetes mátrix - Wikidata
négyzetes mátrix - Wikipédia (magyar)