Cramer-szabály

Magyar

Tekintsük az

A\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}

lineáris egyenletrendszert, ahol az

A

A=\left[{\begin{array}{lll}{{\underline {a}}_{1}}{{\underline {a}}_{2}}{\cdots }{{\underline {a}}_{\mathrm {n} }}\end{array}}\right]_{n\times n}

Legyen

D=\operatorname {det} (A)

D_{1}=\operatorname {det} \left(\left[{\underline {b}}\ {\underline {a}}_{2}\ldots {\underline {a}}_{\mathrm {n} }\right]\right)

D_{2}=\operatorname {det} \left(\left[{\underline {a}}_{1}\ {\underline {b}}\ldots {\underline {a}}_{\mathrm {n} }\right]\right)

\ldots

D_{n}=\operatorname {det} \left(\left[{\underline {a}}_{1}{\underline {a}}_{2}\ldots {\underline {b}}\right]\right)

Ekkor:

D\cdot x_{k}=D_{k},\quad k=1,\ldots ,n

Következmények:

Ha $D\neq 0$ , akkor az egyenletrendszer egyértelműen megoldható és a megoldásvektor k-adik komponense: $x_{k}=D_{k}/D,k=1,\ldots ,n.$
Ha $D=0$ és valamely k-ra $D_{k}\neq 0$ , akkor az egyenletrendszer nem oldható meg.
Ha $D=D_{1}=\ldots =D_{n}=0$ és $r(A)=r([A,{\underline {b}}])$ , akkor az egyenletrendszernek végtelen sok megoldásvektora van. (Ebben az esetben a megoldásvektorok előállítására a Cramer-szabály nem alkalmas.)
Az $A\cdot {\underline {x}}={\underline {o}}$ homogén lineáris egyenletrendszernek csak triviális megoldása van $\Leftrightarrow D\neq 0$ .
Az $A\cdot {\underline {x}}={\underline {o}}$ homogén lineáris egyenletrendszernek létezik triviálistól különböző megoldása is $\Leftrightarrow D=0.$ (Ebben az esetben az egyenletrendszernek végtelen sok megoldásvektora van, de ezeket a Cramer-szabállyal nem tudjuk előállítani.)