IPA : [ ˈhomoɡeːn ˈlinɛaːriʃ ˈɛɟɛnlɛtrɛnt͡sɛr]
homogén lineáris egyenletrendszer
( matematika , lineáris algebra ) Az
A
⋅
x
_
=
b
_
{\displaystyle A\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}}
b
_
=
o
_
{\displaystyle {\underline {b}}={\underline {o}}}
Homogén lineáris egyenletrendszer olyan egyenletrendszer, melyben a szabad tagok zéróval egyenlők. Úgy is fogalmazhatjuk, hogy kizárólag elsőfokú tagot tartalmaz - 0-adfokút sem. Az ilyen rendszer mindig megoldható, mert rendelkezik a (0, 0, …, 0) triviális megoldással.
megoldásvektorok számaAz
A
⋅
x
_
=
o
_
{\displaystyle A\cdot {\underline {x}}={\underline {o}}}
x
_
=
o
_
{\displaystyle {\underline {x}}={\underline {o}}}
triviális megoldásnak nevezzük.
Az
A
⋅
x
_
=
o
_
{\displaystyle A\cdot {\underline {x}}={\underline {o}}}
⇔
r
(
A
)
=
n
{\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad r(A)=n}
Az
A
⋅
x
_
=
o
_
{\displaystyle A\cdot {\underline {x}}={\underline {o}}}
⇔
r
(
A
)
<
n
{\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad r(A)<n}
n
{\displaystyle n}
Megoldásvektorok száma
Homogén lin. egyenletrendszer
A
m
×
n
⋅
x
_
=
o
_
Inhomogén lin. egyenletrendszer
A
m
×
n
⋅
x
_
=
b
_
nincs megoldás
−
r
(
A
)
<
r
(
[
A
,
b
_
]
)
M
=
∅
1 db. megoldásvektor
egyértelműen megoldható
r
(
A
)
=
n
M
0
=
{
o
_
}
r
(
A
)
=
r
(
[
A
,
b
_
]
)
=
n
M
=
{
x
_
0
}
végtelen sok megoldásvektor
r
(
A
)
<
n
M
0
r
(
A
)
=
r
(
[
A
,
b
_
]
)
<
n
M
=
M
0
+
{
x
_
0
}
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline {\text{Megoldásvektorok száma}}&{\begin{array}{c}{\text{Homogén lin. egyenletrendszer}}\\{A_{m\times n}\cdot {\underline {x}}={\underline {o}}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{\text{Inhomogén lin. egyenletrendszer}}\\{A_{m\times n}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}}\end{array}}\\\hline {\text{nincs megoldás}}&-&{\begin{array}{c}{r(A)<r([A,{\underline {b}}])}\\M=\varnothing \end{array}}\\\hline {\begin{array}{c}{\text{1 db. megoldásvektor}}\\{\text{egyértelműen megoldható}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)=n}\\{M_{0}=\{{\underline {o}}\}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)}=r([A,{\underline {b}}])=n\\M=\{{\underline {x}}_{0}\}\end{array}}\\\hline {\text{végtelen sok megoldásvektor}}&{\begin{array}{c}{r(A)<n}\\M_{0}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)}=r([A,{\underline {b}}])<n\\{M=M_{0}+\left\{{\underline {x}}_{0}\right\}}\\\end{array}}\\\hline \end{array}}}
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline {\text{Megoldásvektorok száma}}&{\begin{array}{c}{\text{Homogén lin. egyenletrendszer}}\\{A_{m\times n}\cdot {\underline {x}}={\underline {o}}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{\text{Inhomogén lin. egyenletrendszer}}\\{A_{m\times n}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}}\end{array}}\\\hline {\text{nincs megoldás}}&-&{\begin{array}{c}{r(A)<r([A,{\underline {b}}])}\\M=\varnothing \end{array}}\\\hline {\begin{array}{c}{\text{1 db. megoldásvektor}}\\{\text{egyértelműen megoldható}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)=n}\\{M_{0}=\{{\underline {o}}\}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)}=r([A,{\underline {b}}])=n\\M=\{{\underline {x}}_{0}\}\end{array}}\\\hline {\text{végtelen sok megoldásvektor}}&{\begin{array}{c}{r(A)<n}\\M_{0}\end{array}}&{\begin{array}{c}{r(A)}=r([A,{\underline {b}}])<n\\{M=M_{0}+\left\{{\underline {x}}_{0}\right\}}\\\end{array}}\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e03ccf5d7fd7b17c46bf3b5fa9f1db6e332202)