Lebesgue-integrál

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈlɛbɛʒɡuɛintɛɡraːl]

Főnév

Lebesgue-integrál

1. (matematika) A Lebesgue-integrál a matematikai analízis egyik alapvető fogalma, amely lehetővé teszi a tágabb értelemben vett integrálást, mint a Riemann-integrál. A Lebesgue-integrál célja, hogy kiterjessze az integrálást olyan funkciókra is, amelyek nem integrálhatók a Riemann-értelmezés szerint.

Főbb jellemzők

1. Mérés: A Lebesgue-integrál alapja a mértékelmélet, amely a halmazok "méretének" (mérhető halmazok) fogalmát vezeti be. A mérték fogalmával a Lebesgue-integrál a halmazokra és a függvényekre épít.

2. Integrálható függvények: Egy valós függvény ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ Lebesgue-integrálható, ha az abszolút értékének integrálja véges: $$\int |f|\,d\mu <\infty .$$

3. Lebesgue-integrál definíciója: Ha ${\textstyle f}$ Lebesgue-integrálható, a Lebesgue-integrálja ${\textstyle a}$ és ${\textstyle b}$ között a következőképpen definiálható: $$\int _{a}^{b}f\,d\mu =\int f(x)\,dx.$$

4. Monotonitás: Ha ${\textstyle f\leq g}$ szinte mindenhol, akkor ${\textstyle \int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu }$.

5. Dominált konvergencia tétele: Ha ${\textstyle f_{n}}$ egy sorozat, amely szinte mindenhol konvergál ${\textstyle f}$-hez, és létezik egy integrálható ${\textstyle g}$, amely dominálja ${\textstyle |f_{n}|}$-t, akkor: $$\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\,d\mu =\int f\,d\mu .$$

Alkalmazások A Lebesgue-integrál széleskörűen alkalmazható a valószínűségelméletben, a funkcionálanalízisben és más matematikai területeken. A Lebesgue-féle mérték és integrál elmélete különösen fontos a statisztikában és a véletlen folyamatokban.

További információk

• Lebesgue-integrál - Értelmező szótár (MEK)
• Lebesgue-integrál - Etimológiai szótár (UMIL)
• Lebesgue-integrál - Szótár.net (hu-hu)
• Lebesgue-integrál - DeepL (hu-de)
• Lebesgue-integrál - Яндекс (hu-ru)
• Lebesgue-integrál - Google (hu-en)
• Lebesgue-integrál - Helyesírási szótár (MTA)
• Lebesgue-integrál - Wikidata
• Lebesgue-integrál - Wikipédia (magyar)