Pitagorasz-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈpitɒɡorɒsteːtɛl]

Főnév

Pitagorasz-tétel

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

1. (matematika) A Pitagorasz-tétel vagy Pitagorasz tétele az euklideszi geometria egyik állítása.

Felfedezését és első bizonyítását az i. e. 6. században élt matematikusnak és filozófusnak, Püthagorasznak tulajdonítják, pedig indiai, görög, kínai és babilóniai matematikusok már ismerték a tételt jóval Püthagorasz előtt, és a kínaiak bizonyítást is adtak rá. A tétel kimondja, hogy egy derékszögű háromszög átfogójának négyzete (az átfogóra rajzolt négyzet területe) egyenlő a befogók négyzeteinek összegével. A tételre több, mint 350 bizonyítás ismeretes.

---

Pitagorasz-tétel

Definíció

A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometriában található egyik legismertebb tétel, amely a derékszögű háromszögek oldalainak kapcsolatát írja le. A tétel kimondja, hogy egy derékszögű háromszögben az átfogó (a háromszög leghosszabb oldala) négyzete egyenlő a két befogó négyzetének összegével.

> Tétel: Ha egy háromszög derékszögű, és az oldalak hossza $a$, $b$ és $c$, ahol $c$ az átfogó, akkor a következő kapcsolat érvényes: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Bizonyítás

A Pitagorasz-tételt többféleképpen is be lehet bizonyítani, de az egyik legismertebb bizonyítás a geometriai bizonyítás, amely az alábbi lépésekből áll:

1. Előkészítés

Legyen egy derékszögű háromszög $ABC$, ahol $\angle ABC=90^{\circ }$. Az oldalak hossza legyen $a$, $b$, és $c$, ahol $c$ az átfogó.

2. A háromszög négyzetekre rajzolása

Rajzoljunk egy négyzetet, amelynek oldala $a+b$, és helyezzük el a három derékszögű háromszöget úgy, hogy azok az oldalakon helyezkedjenek el. A négyzetek belső területének kiszámításával összevethetjük a két oldalnégyzet összegét.

3. Terület kiszámítása

A nagy négyzet területe $(a+b)^{2}$, amely egyenlő lesz a három háromszög területének és a középen lévő négyzet területének összegével: $(a+b)^{2}=2ab+c^{2}$ Ez a képlet bizonyítja a Pitagorasz-tételt: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

4. Következtetés

A két oldal négyzetének összege megegyezik az átfogó négyzetével, tehát a Pitagorasz-tétel igaz.

Python Kód

A Pitagorasz-tételt Pythonban is könnyen alkalmazhatjuk, például, ha ismerjük a két befogót, kiszámíthatjuk az átfogót. Az alábbi kód bemutatja, hogyan számíthatjuk ki az átfogót egy derékszögű háromszögben:

import math

# Két befogó hosszának megadása
a = 3
b = 4

# Az átfogó hossza a Pitagorasz-tétel alapján
c = math.sqrt(a**2 + b**2)

print(f"A háromszög átfogója: {c}")

Kimenet

A háromszög átfogója: 5.0

Ebben a példában a két befogó hossza 3 és 4, így az átfogó hossza a Pitagorasz-tétel szerint ${\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5$.

Alkalmazás és Következmények

A Pitagorasz-tétel számos alkalmazásban fontos szerepet játszik, különösen a geometriában, a fizikában és a mérnöki tudományokban. Például: - Távolság számítása: A két pont közötti távolság kiszámítása a síkon a Pitagorasz-tétel segítségével történik. - Navigációs rendszerek: A GPS és más navigációs rendszerek is a Pitagorasz-tételt használják a távolságok meghatározására. - Fizika: A kinematika és dinamika is használja a tételt, például a sebesség és gyorsulás vektoraiban.

Összegzés

A Pitagorasz-tétel alapvető eszköze a matematikai geometriának, amely leírja a derékszögű háromszögek oldalainak kapcsolatát. A tétel egyszerűsége és széleskörű alkalmazásai miatt az egyik legismertebb és legfontosabb eredmény a matematikában.

Fordítások

Tartalom

angol: Pythagorean theorem (en) arab: مُبَرْهَنَة فِيثَاغُورَس‎ (ar) nn (mubarhanat fiṯaḡūras) cseh: Pythagorova věta (cs) nn finn: Pythagoraan lause (fi) francia: théorème de Pythagore (fr) hn holland: stelling van Pythagoras (nl) nn izlandi: Pýþagórasarregla (is), regla Pýþagórasar (is), setning Pýþagórasar (is) japán: ピタゴラスの定理 (ja) (Pitagorasu no teiri) kínai: 勾股定理 (zh) (gōugǔ dìnglǐ), 畢達哥拉斯定理 (zh), 毕达哥拉斯定理 (zh) (Bìdágēlāsī-dìnglǐ)

latin: theorema Pythagorae (la) sn macedón: Питагорина теорема (mk) nn (Pitagórina teórema) német: Satz des Pythagoras (de) hn olasz: teorema di Pitagora (it) orosz: теорема Пифагора (ru) nn (teoréma Pifagóra) örmény: Պյութագորասի թեորեմ (hy) (Pyutʿagorasi tʿeorem) portugál: teorema de Pitágoras (pt) hn spanyol: teorema de Pitágoras (es) svéd: Pythagoras sats (sv) kn vietnámi: định lí Pi-ta-go (vi)

További információk

• Pitagorasz-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Pitagorasz-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Pitagorasz-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Pitagorasz-tétel - DeepL (hu-de)
• Pitagorasz-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Pitagorasz-tétel - Google (hu-en)
• Pitagorasz-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Pitagorasz-tétel - Wikidata
• Pitagorasz-tétel - Wikipédia (magyar)