differenciálegyenlet
Kiejtés
- IPA: [ ˈdifːɛrɛnt͡sijaːlɛɟɛnlɛt]
Főnév
differenciálegyenlet
- (matematika) Olyan egyenlet, amelyben egy függvény, az ismeretlen mennyiség, és az illető függvény deriváltjai is szerepelnek. Minden differenciálegyenlet tehát speciális függvényegyenlet. Nincs általános módszer differenciálegyenletek megoldására. Bizonyos speciális esetekben a megoldások megadhatók képlettel (,,zárt alakban"), legtöbbször azonban csak numerikus (közelítő) módszerek állnak rendelkezésünkre.
A differenciálegyenlet egy olyan egyenlet, amelyben egy ismeretlen függvény és annak deriváltai szerepelnek. Ezek az egyenletek a matematikai modellezés fontos eszközei, mivel számos fizikai, biológiai, kémiai és mérnöki rendszert leírnak, ahol a változók közötti kapcsolatok időbeli vagy térbeli változásokon alapulnak.
Alapfogalmak
1. Differenciálegyenlet: Egy olyan egyenlet, amely tartalmaz egy vagy több deriváltat. Általános formája: ahol: - az ismeretlen függvény, - a függvény első, második és -edik deriváltja, - a független változó.
2. Független és függő változó: Az ismeretlen függvény (általában ) a függő változó, míg a független változó (általában ) az, amely szerint deriválunk.
3. Megoldás: A differenciálegyenlet megoldása az a függvény, amely kielégíti az egyenletet. Például ha , akkor a megoldás , ahol egy tetszőleges konstans.
Típusok
1. Rend szerint:
Elsőrendű differenciálegyenlet: Az egyenlet csak az ismeretlen függvény első deriváltját tartalmazza, pl. .
Másodrendű differenciálegyenlet: Az egyenlet tartalmazza az ismeretlen függvény második deriváltját, pl. .
Általánosan, az n-edrendű differenciálegyenlet tartalmazza az -edik deriváltat.
2. Lineáris és nemlineáris:
Lineáris differenciálegyenlet: Az egyenletben az ismeretlen függvény és deriváltjai csak első hatványon szerepelnek, pl. .
Nemlineáris differenciálegyenlet: Ha az ismeretlen függvény vagy deriváltjai nemlineáris formában jelennek meg, pl. .
3. Szokásos és parciális:
- Szokásos differenciálegyenlet (ODE): Csak egy független változót tartalmaz.
- parciális differenciálegyenlet (PDE): Két vagy több független változót tartalmaz. Például a hővezetési egyenlet: ahol a hőmérséklet, az idő, a hely, és egy konstans.
Megoldási módszerek
1. Analitikus módszerek: - Szeparálás: Használható elsőrendű differenciálegyenleteknél. Például: Az integrálás után megkapjuk: .
- Integráló tényező: Lineáris elsőrendű differenciálegyenleteknél alkalmazható. Az integráló tényező segítségével az egyenlet könnyen megoldható.
- Homogén és inhomogén egyenletek: Az homogén rész megoldása után a különleges megoldás keresése a nem homogén részhez.
2. Numerikus módszerek: - Euler-módszer: Egyszerű, de hatékony módszer a differenciálegyenletek közelítő megoldására. Az alapelv: ahol a lépésköz, és az egyenlet.
- Runge-Kutta módszer: A numerikus megoldás pontosabb módszere, amely több lépésben számítja ki az értékeket.
Példák
1. Elsőrendű differenciálegyenlet:
2. Másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet: ahol és konstansok.
Alkalmazás
- Fizika: A mozgás törvényei, elektromágneses mezők, hullámok és más fizikai jelenségek leírása. - Biológia: Populációk növekedésének modellezése. - Kémia: Reakciókinetika elemzése. - Gazdaságtan: Gazdasági modellek leírása, ahol a változók időbeli változása fontos.
Összegzés
A differenciálegyenletek kulcsszerepet játszanak a matematikai modellezésben és számos tudományágban. Megoldásuk analitikus vagy numerikus módszerekkel történhet, és a gyakorlatban széles körben alkalmazzák őket különböző területeken.
Fordítások
- angol: differential equation (en)
- finn: differentiaaliyhtälö (fi)
- francia: équation différentielle (fr)
- német: Differentialgleichung (de)
- orosz: дифференциальное уравнение (ru) (differencialʹnoje uravnenije)
- differenciálegyenlet - Értelmező szótár (MEK)
- differenciálegyenlet - Etimológiai szótár (UMIL)
- differenciálegyenlet - Szótár.net (hu-hu)
- differenciálegyenlet - DeepL (hu-de)
- differenciálegyenlet - Яндекс (hu-ru)
- differenciálegyenlet - Google (hu-en)
- differenciálegyenlet - Helyesírási szótár (MTA)
- differenciálegyenlet - Wikidata
- differenciálegyenlet - Wikipédia (magyar)