t-eloszlás

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈtɛloslaːʃ]

Főnév

(matematika, valószínűségszámítás) A t-eloszlás (vagy Student-féle t-eloszlás) egy valószínűségi eloszlás, amelyet leggyakrabban akkor használnak, amikor egy minta átlagát hasonlítjuk össze egy populáció átlagával, különösen akkor, ha a minta elemszáma kicsi, és a populáció szórása nem ismert. A t-eloszlást a Guinness sörgyár egyik statisztikusa, William Sealy Gosset fejlesztette ki, aki "Student" álnéven publikált, innen ered a neve.

Jellemzői: 1. Szabadságfokok (df): A t-eloszlás alakja a szabadságfokoktól függ, amely általában a minta elemszámának ( ${\textstyle n}$ ) és az egyenletek számának különbsége (pl. ${\textstyle df=n-1}$ ). Minél kisebb a szabadságfokok száma, annál szélesebb és laposabb a t-eloszlás. Ahogy a szabadságfokok száma növekszik, a t-eloszlás egyre inkább hasonlít a normál eloszláshoz.

2. Csúcsosság: A t-eloszlás harang alakú, akárcsak a normál eloszlás, de laposabb és szélesebb farokkal rendelkezik, különösen kis mintaméretek esetén. Ez azt jelenti, hogy a t-eloszlás több valószínűséget rendel az átlagtól távolabb eső értékekhez, ami nagyobb variabilitást tükröz.

3. Szimmetria: A t-eloszlás szimmetrikus a nulla körül, ami azt jelenti, hogy pozitív és negatív értékei hasonló valószínűségekkel fordulnak elő.

Különbség a t-eloszlás és a normál eloszlás között: - T-eloszlás: Akkor használjuk, ha a minta kicsi ( ${\textstyle n<30}$ ) és a populáció szórása nem ismert. A t-eloszlás szélesebb és laposabb farokkal rendelkezik, ami lehetővé teszi a mintaátlag körüli nagyobb bizonytalanság kezelését. - Normál eloszlás: Nagy minták esetén ( ${\textstyle n\geq 30}$ ) és ha a populáció szórása ismert, akkor a normál eloszlás használata ajánlott. A normál eloszlás "szűkebb" és kevesebb valószínűséget rendel a szélsőséges értékekhez.

Képlet: A t-eloszlás sűrűségfüggvénye a következő:

$f(t)={\frac {\Gamma \left({\frac {v+1}{2}}\right)}{{\sqrt {v\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {v}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {t^{2}}{v}}\right)^{-{\frac {v+1}{2}}}$

Ahol: - ${\textstyle t}$ a t-statisztika értéke, - ${\textstyle v}$ a szabadságfokok száma, - ${\textstyle \Gamma }$ a gamma-függvény, ami a faktoriális kiterjesztése nem egész számokra.

Alkalmazásai: 1. T-próbák: A t-eloszlást leggyakrabban a t-próbákhoz használják, például: - Egymintás t-próba: Egy minta átlagát hasonlítjuk egy hipotetikus populációs átlaghoz. - Független mintás t-próba: Két független csoport átlagainak összehasonlítására. - Páros t-próba: Két összefüggő minta (pl. előtte-utána mérés) átlagának összehasonlítása.

2. Konfidencia-intervallumok: Kis minták esetén a t-eloszlást használjuk a konfidencia-intervallumok számításához, mivel a minták nagyobb bizonytalanságot hordoznak, mint nagyobb minták esetén.

3. Hipotézisvizsgálat: A t-eloszlás segítségével statisztikai teszteket végezhetünk, amelyek megmutatják, hogy egy minta különbsége szignifikáns-e a véletlen ingadozásokhoz képest.

Példa t-eloszlásra:

Tegyük fel, hogy egy tanulmány során egy adott populáció átlagát szeretnénk becsülni, de csak egy 10 fős mintánk van. A minta átlagát és szórását ismerjük, de a populáció szórását nem. Ebben az esetben a t-eloszlást használjuk a szignifikancia teszteléséhez, mert a minta kicsi, és bizonytalanságot hordoz.

Összegzésképpen, a t-eloszlás egy rugalmas és hasznos eszköz a statisztikai elemzésekben, különösen akkor, ha kis mintákkal dolgozunk, és a populációs paraméterek nem ismertek teljes mértékben.

További információk

t-eloszlás - Értelmező szótár (MEK)
t-eloszlás - Etimológiai szótár (UMIL)
t-eloszlás - Szótár.net (hu-hu)
t-eloszlás - DeepL (hu-de)
t-eloszlás - Яндекс (hu-ru)
t-eloszlás - Google (hu-en)
t-eloszlás - Helyesírási szótár (MTA)
t-eloszlás - Wikidata
t-eloszlás - Wikipédia (magyar)