Cayley-tétel

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈt͡sɒilɛiteːtɛl]

Főnév

Cayley-tétel

1. (matematika, csoportelmélet) A Cayley-tétel a csoportelmélet egy jelentős eredménye, mely azt mondja ki, hogy minden G csoport izomorf a Sym(G) szimmetrikus csoport valamely részcsoportjával. A G csoport Sym(G) szimmetrikus csoportja nem más, mint a G halmaz önmagára vett összes bijekciójának (tehát permutációjának) csoportja a függvénykompozícióval mint művelettel ellátva. Az összes G → Sym(G) csoporthomomorfizmus meghatároz egy G-hatást a G-n, de a tétel szerint van egy kitüntetett T: G → Sym(G) homomorfizmus, mely izomorfizmus és amit a csoport reguláris- vagy Cayley-reprezentációjának nevezünk. A Cayley-tétel következménye, hogy minden tétel, ami permutációcsoportokra igaz, az csoportokra is igaz, mivel minden csoport ábrázolható permutációcsoportként. Az elnevezés Arthur Cayley nevét őrzi.

---

Cayley-tétel

Definíció

A Cayley-tétel a csoportelmélet egyik alapvető tétele, amely kimondja:

Minden véges vagy végtelen $G$ csoport izomorf egy permutációs csoport egy részhalmazával.

Más szóval, minden $G$ csoport izomorf a $G$-re vett bal oldali hatással definiált csoporttal, amely a permutációk $S_{G}$ csoportjának részcsoportja.

Tétel Állítása

Legyen $G$ egy csoport, amelynek rendje $|G|=n$. Ekkor:

1. Létezik egy injektív homomorfizmus $\phi :G\to S_{G}$, ahol $S_{G}$ a $G$ elemeire definiált permutációk csoportja.
2. $G$ izomorf a permutációk egy részhalmazával (${\text{Im}}(\phi )$).

Ez azt jelenti, hogy bármely csoport modellezhető egy permutációs csoport részeként.

Fontos Fogalmak

Permutációs csoport ($S_{n}$)

- Az $S_{n}$ csoport az $n$-elemű halmaz összes permutációját tartalmazza. - Minden permutáció egy bijektív függvény, amely az elemek sorrendjét változtatja meg.

Bal oldali hatás

- A csoport elemei balról hatnak saját magukra: $\phi _{g}(x)=g\cdot x,$ ahol $g,x\in G$, és $\phi _{g}$ egy adott $g$ elem által meghatározott permutáció.

Cayley-tétel Bizonyítása

1. A homomorfizmus definíciója

Definiáljunk egy $\phi :G\to S_{G}$ leképezést az alábbi módon: $\phi (g)(x)=g\cdot x\quad \forall g,x\in G.$ Itt $\phi (g)$ egy $G$-re vett permutációt jelent, amely az $x$ elemet $g\cdot x$-re képezi le.

2. $\phi$ homomorfizmus

Vizsgáljuk meg, hogy $\phi$ csoporthomomorfizmus: - Legyenek $g_{1},g_{2}\in G$, akkor: $\phi (g_{1}\cdot g_{2})(x)=(g_{1}\cdot g_{2})\cdot x.$ Ugyanakkor: $\phi (g_{1})\circ \phi (g_{2})(x)=\phi (g_{1})(\phi (g_{2})(x))=\phi (g_{1})(g_{2}\cdot x)=g_{1}\cdot (g_{2}\cdot x).$ Ezért: $\phi (g_{1}\cdot g_{2})=\phi (g_{1})\circ \phi (g_{2}),$ így $\phi$ homomorfizmus.

3. $\phi$ injektív

- Ha $\phi (g_{1})=\phi (g_{2})$, akkor $g_{1}\cdot x=g_{2}\cdot x$ minden $x\in G$-re. - Mivel a csoportművelet invertálható, ez azt jelenti, hogy $g_{1}=g_{2}$. - Tehát $\phi$ injektív.

4. $\phi$ képe egy permutációs részcsoport

- A $\phi$ képe (${\text{Im}}(\phi )$) a permutációs csoport ($S_{G}$) egy részcsoportja. - Ez a részcsoport izomorf $G$-vel, mivel $\phi$ injektív és homomorfizmus.

5. Következtetés

- $G$ izomorf a permutációk egy részcsoportjával (${\text{Im}}(\phi )$). - Ez azt jelenti, hogy $G$ mindig reprezentálható permutációs csoportként.

Példa

Példa: $G=\mathbb {Z} _{3}$

- $G=\{0,1,2\}$, ahol az összeadás modulo $3$-mal van definiálva. - $S_{3}$ a három elem összes permutációját tartalmazza.

Homomorfizmus

- $\phi (0):x\mapsto x$ (identitás permutáció). - $\phi (1):x\mapsto (x+1\mod 3)$. - $\phi (2):x\mapsto (x+2\mod 3)$.

Eredmény

- A $\phi$-vel definiált permutációk egy részcsoportot alkotnak $S_{3}$-ban, amely izomorf $\mathbb {Z} _{3}$-mal.

Fontos Következmények

1. Csoportok permutációs modellje:

  - Minden csoport permutációs csoportként ábrázolható.

1. Véges csoportok tanulmányozása:

  - A Cayley-tétel lehetővé teszi, hogy véges csoportokat permutációkon keresztül vizsgáljunk.

1. Csoportreprezentációk:

  - A tétel alapot ad a csoportok ábrázolásának elméletéhez, különösen a permutációs reprezentációkhoz.

Összegzés

A Cayley-tétel azt mondja ki, hogy minden csoport ábrázolható permutációs csoportként. Ez a tétel egy alapvető eszköz a csoportelméletben, amely megmutatja, hogy a permutációs csoportok elegendőek minden más csoport struktúrájának reprezentálására.

• angol: Cayley's theorem (en)

További információk

• Cayley-tétel - Értelmező szótár (MEK)
• Cayley-tétel - Etimológiai szótár (UMIL)
• Cayley-tétel - Szótár.net (hu-hu)
• Cayley-tétel - DeepL (hu-de)
• Cayley-tétel - Яндекс (hu-ru)
• Cayley-tétel - Google (hu-en)
• Cayley-tétel - Helyesírási szótár (MTA)
• Cayley-tétel - Wikidata
• Cayley-tétel - Wikipédia (magyar)