Lebesgue-mérték

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈlɛbɛʒɡuɛmeːrteːk]

Főnév

Lebesgue-mérték

1. (matematika) A mértékelméletben a Lebesgue-mérték (ejtsd: löbeg) egy megszokott módszer, hogy mértéket rendeljünk egy n-dimenziós euklideszi tér részhalmazaihoz.

Ha n = 1, 2 vagy 3, akkor a fogalom rendre megegyezik a hosszúság, terület, térfogat fogalmával. Általánosságban n-dimenziós térfogatnak, illetve n-térfogatnak is hívják vagy csak térfogatnak. A fogalmat a valós analízis számos területén használják, leginkább a Lebesgue-integrál definíciójában. Azokat a halmazokat, amelyekhez ilyen módon szám rendelhető, Lebesgue-mérhetőnek hívjuk, és egy ilyen A halmaz Lebesgue-mértékét λ(A)-val jelöljük. Néha dx-szel is jelölik.

A mérték a francia Henri Lebesgue-től származik 1901-ből. Egy évvel később pedig a Lebesgue-integrál fogalmát írta meg. Mindkét témát 1902-ben a disszertációjában publikálta.

Definíció

Adott $E\subset \mathbb {R}$ halmaz, amelyben bármely $I=[a,b]$ (nyitott, zárt vagy akár félig-nyitott) intervallum hosszúsága $l(I)=b-a$. Ekkor az E halmaz külső Lebesgue-mértéke, vagyis a $\lambda ^{*}(E)$ definíciója:

$\lambda ^{*}(E)={\text{inf}}\left\{\sum _{k=1}^{\infty }l(I_{k}):{\text{ahol }}{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ nyílt intervallumok sorozata, úgy hogy }}E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}$.

Ha egy $E$ halmazra igaz, hogy bármely $A\subset \mathbb {R}$-re

$\lambda ^{*}\left(A\right)=\lambda ^{*}\left(A\cap E\right)+\lambda ^{*}\left(A\cap {\overline {E}}\right)$,

akkor az $E$ halmaz Lebesgue-mértéke megegyezik a külső Lebesgue-mértékével, vagyis: $\lambda (E)=\lambda ^{*}(E)$. Amelyik halmazra nem teljesül a feltétel, annak nincs Lebesgue-mértéke.

Példák

• A valós számok körében bármely [a, b] zárt intervallum Lebesgue-mérhető, és a mértéke b-a. A nyílt (a, b) intervallum ugyanakkora mértékű, mivel csupán a két végpontban különbözik, melyek mértéke nulla.
• Bármely [a, b] és [c, d] Descartes-szorzata Lebesgue-mérhető és a mértéke (b-a)(d-c), vagyis a hozzá tartozó téglalap területe.
• A racionális számok halmazának Lebesgue-mértéke 0, annak ellenére, hogy a halmaz sűrű.
• A Cantor-halmaz egy példa olyan nem megszámlálható halmazra, amelynek Lebesgue-mértéke nulla.

További információk

• Lebesgue-mérték - Értelmező szótár (MEK)
• Lebesgue-mérték - Etimológiai szótár (UMIL)
• Lebesgue-mérték - Szótár.net (hu-hu)
• Lebesgue-mérték - DeepL (hu-de)
• Lebesgue-mérték - Яндекс (hu-ru)
• Lebesgue-mérték - Google (hu-en)
• Lebesgue-mérték - Helyesírási szótár (MTA)
• Lebesgue-mérték - Wikidata
• Lebesgue-mérték - Wikipédia (magyar)