σ-algebra

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈσɒlɡɛbrɒ]

Főnév

σ-algebra

1. (matematika, valószínűségszámítás) A σ-algebra (szigma-algebra) vagy Borel-féle halmaztest, illetve mérhető tér a matematikai struktúrák egy fajtája. Olyan egyszerű (nem-többszörös), egykomponensű topologikus struktúra, amely amellett, hogy egyszerű halmaztestet (halmazalgebrát) képez, az elemei (az ún. „mérhető/nyílt halmazok”) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tagú egyesítésére is zárt.

Formális definíció

Axiómák

Legyen $\Omega$ tetszőleges halmaz, ${\mathcal {P}}(\Omega )$ az $\Omega$ részhalmazaiból álló hatványhalmaz, és legyen ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ az $\Omega$ részhalmazainak egy halmaza.

Az ${\mathcal {A}}$ halmazt az $\Omega$ halmaz feletti σ-algebrának nevezzük, ha teljesülnek a következő tulajdonságok:

1. ${\mathcal {A}}$ nem üres, azaz ${\mathcal {A}}\neq \emptyset$.

2. ${\mathcal {A}}$ tartalmazza bármely eleme ($\Omega$-ra vonatkozó) komplementerét, vagyis zárt a komplementerképzés műveletére, azaz $A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow {\overline {A}}\in {\mathcal {A}}$.

3. ${\mathcal {A}}$ tartalmazza bármely legfeljebb megszámlálható halmazcsaládja unióját, vagyis zárt a megszámlálható unióképzésre, azaz $A_{i}\in {\mathcal {A}}(i\in \mathbb {N} )\Rightarrow \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}$.

A 3. axiómából ered a fogalom elnevezése, mivel az $\bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i}$-t régies jelöléssel $\sum _{i=0}^{\infty }A_{i}$-nak is szokás írni, vagyis az az egyik követelmény, hogy a halmazok görög nagy szigma betűvel jelölt végtelen szummája is a halmazalgebrába tartozzon. E tulajdonságot egyébként röviden σ-zártságnak szokás nevezni.

További információk

• σ-algebra - Értelmező szótár (MEK)
• σ-algebra - Etimológiai szótár (UMIL)
• σ-algebra - Szótár.net (hu-hu)
• σ-algebra - DeepL (hu-de)
• σ-algebra - Яндекс (hu-ru)
• σ-algebra - Google (hu-en)
• σ-algebra - Helyesírási szótár (MTA)
• σ-algebra - Wikidata
• σ-algebra - Wikipédia (magyar)