valószínűséggeneráló függvény

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈvɒloːsiːnyːʃeːɡːɛnɛraːloːfyɡveːɲ]

Főnév

valószínűséggeneráló függvény

1. (matematika, valószínűségszámítás) A valószínűséggeneráló függvény a valószínűségszámításban a diszkrét valószínűségi változók eloszlásait jellemző függvény. Minden természetes számokat értékként felvevő eloszláshoz hozzárendelhető valószínűséggeneráló függvény, és minden valószínűséggeneráló függvényhez egyértelműen tartozik természetes számokat értékül adó eloszlás.

A hozzárendelés alapján a valószínűséggeneráló függvény segítségével lehet következtetni a valószínűségi változó tulajdonságaira. A valószínűségi változókon végzett műveleteknek megfelelnek a valószínűséggeneráló függvényeken végzett műveletek. Így kapcsolatban állnak a valószínűséggeneráló függvény deriváltjai és az eloszlás várható értéke, szórásnégyzete és további momentumai. A független változók összeadása az eloszlások konvolúciójának és a valószínűséggeneráló függvények szorzásának. A fontos műveletek egyszerűsítése lehetővé teszi olyan bonyolult sztochasztikus objektumok vizsgálatát, mint a Galton-Watson-folyamat.

Definíció

A valószínűséggeneráló függvény kétféleképpen is definiálható, ezek azonban ekvivalensek. Az egyik a valószínűségeloszláson, a másik a valószínűségi változón alapul. Mindkét definícióban teljesül a $0^{0}:=1$ összefüggés. A továbbiakban $\mathbb {N} _{0}$ jelöli a természetes számokat, beleértve a nullát, avagy a nemnegatív egész számokat.

Valószínűségeloszlásokra

Legyen $P$ valószínűségeloszlás az $(\mathbb {N} _{0},{\mathcal {P}}(\mathbb {N} _{0}))$ halmazon, és valószínűségi függvénye $f_{P}(k)=P(\{k\})$! Ekkor az $m_{P}\colon [0,1]\to [0,1]$ függvény, aminek definíciója

$m_{P}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{P}(k)t^{k}$

$P$, illetve $f_{P}$ valószínűséggeneráló függvénye.

Valószínűségi változókra

Ha az $X$ valószínűségi változó értékei $\mathbb {N} _{0}$-ból valók, akkor a valószínűséggeneráló függvény egy $m_{X}\colon [0,1]\to [0,1]$ függvény, aminek definíciója

$m_{X}(t):=m_{P\circ X^{-1}}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}P[X=k]$.

Ez $X$, illetve $P_{X}$ valószínűséggeneráló függvénye.

Ezzel egy valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye megegyezik eloszlásának valószínűséggeneráló függvényével. Alternatívan, a várható érték segítségével is definiálható:

$m_{X}(t):=\operatorname {E} \left[t^{X}\right]$.

További információk

• valószínűséggeneráló függvény - Értelmező szótár (MEK)
• valószínűséggeneráló függvény - Etimológiai szótár (UMIL)
• valószínűséggeneráló függvény - Szótár.net (hu-hu)
• valószínűséggeneráló függvény - DeepL (hu-de)
• valószínűséggeneráló függvény - Яндекс (hu-ru)
• valószínűséggeneráló függvény - Google (hu-en)
• valószínűséggeneráló függvény - Helyesírási szótár (MTA)
• valószínűséggeneráló függvény - Wikidata
• valószínűséggeneráló függvény - Wikipédia (magyar)