Bernoulli-eloszlás

Magyar

(matematika, valószínűségszámítás) A Bernoulli-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amely egy olyan kísérletet modellez, ahol két lehetséges kimenetel van: "siker" és "sikertelenség." A kimenetel valószínűsége a következő:

- "Siker" ( ${\textstyle \xi =1}$ ) valószínűsége: ${\textstyle p}$ - "Sikertelenség" ( ${\textstyle \xi =0}$ ) valószínűsége: ${\textstyle 1-p}$

Matematikai definíció: A Bernoulli valószínűségi változó ${\textstyle \xi }$ eloszlása a következő: $P(\xi =1)=p\quad {\text{és}}\quad P(\xi =0)=1-p,$ ahol ${\textstyle p\in [0,1]}$ a siker valószínűsége.

Jellemzők: - Várható érték ( ${\textstyle M(\xi )}$ ): $M(\xi )=1\cdot p+0\cdot (1-p)=p$ - Szórásnégyzet ( ${\textstyle D(\xi )}$ ): $D(\xi )=M(\xi ^{2})-(M(\xi ))^{2}=p(1-p)$ Ez a szórásnégyzet azt méri, hogy mennyire változnak az eredmények a várható értéktől.

Példák: - Érmefeldobás: Egy Bernoulli-eloszlású kísérlet lehet például egy érmefeldobás, ahol a fej "siker" ( ${\textstyle \xi =1}$ ) valószínűsége ${\textstyle p=0.5}$ , és az írás "sikertelenség" ( ${\textstyle \xi =0}$ ) valószínűsége ${\textstyle 1-p=0.5}$ . - Gyártási minőségellenőrzés: Ha egy gyártási folyamat során egy termék vagy hibás (sikertelenség, ${\textstyle \xi =0}$ ) vagy hibátlan (siker, ${\textstyle \xi =1}$ ), a Bernoulli-eloszlás modellezheti egy termék minőségét.

A Bernoulli-eloszlás az alapja a binomiális eloszlásnak, amely több független Bernoulli-kísérlet eredményét összegzi.