(matematika,absztrakt algebra) Egy A algebrai struktúrán értelmezett homomorfizmus ekvivalenciarelációt definiál a struktúra elemei között: , ha . Ezt az ekvivalenciarelációt a homomorfizmus magjának (kernelének) nevezzük, és -vel jelöljük. Minden homomorfizmust meghatároz a magja. Tekintsük azt a hozzárendelést, ami A minden elemeihez az őt tartalmazó ekvivalenciaosztályt rendeli, és az ekvivalenciaosztályokon úgy definiáljuk a relációkat, hogy ez a hozzárendelés homomorfizmus legyen, akkor az így definiált struktúrát a kernel által generált faktorstruktúrának nevezzük, amit szimbólummal jelölünk. Ekkor könnyen ellenőrizhetően izomorfizmus, tehát a homomorfizmus magja által generált faktorcsoport izomorf a homomorfizmus képével. Ez a homomorfizmustétel:
.
Csoportokban, gyűrűkben, vektorterekben hagyományosan az egységelem illetve nullelem ősképét nevezzük a homomorfizmus magjának. De ez egyértelműen meghatározza az absztraktabb értelemben vett kernelt, lévén az , ha létezik e eleme a magnak, hogy (csoportoknál) ekvivalenciareláció éppen a kernel. Ezek mindig részcsoportot illetve részgyűrűt alkotnak:
gyűrű olyan részgyűrűjét, ami homomorfizmus magja lehet, ideálnak nevezzük. Testeknek csak két triviális ideálja van, a nullelem és a teljes test, így minden nemtriviális testhomomorfizmus automorfizmus.
