mátrix determinánsa

Magyar

Kiejtés

• IPA: [ ˈmaːtriɡzdɛtɛrminaːnʃɒ]

Főnév

mátrix determinánsa

1. (matematika, lineáris algebra) A determináns a valós, négyzetes mátrixokhoz rendelt valós szám, ahol a hozzárendelés egy $\mathbb {R} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {R}$ függvényként van definiálva. Tulajdonságai levezethetőek a valós számok, mint test, tulajdonságaiból, így általánosabban is bevezethető a fogalom. A vegyes szorzat általánosításának tekinthető. Legyen $T$ test, $d:T^{n\times n}\rightarrow T$ függvény és $A\in T^{n\times n}$ négyzetes mátrix. Jelölje $a_{ij}\in T$ a mátrix $i$-edik sorának $j$-edik elemét. A mátrix determinánsának nevezzük az alábbi formula által hozzárendelt, $d(A)$-val jelölt elemet:

   $d(A):=\sum _{(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n})}{(-1)^{I(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n})}\prod _{j=1}^{n}{a_{ji_{j}}}}$, ahol:

• $(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})$ az $(1,2,\dots ,n)$ elemek egy permutációja,
• $I(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})$ pedig a permutáció inverziószáma,
• a szumma pedig a permutációkra történő összegzés.

A determináns néhány szokásos jelölése:

• a mátrix megadásával: $det(A)$, $|A|$ ill. $det|A|$;
• vektorrendszerrel: $det(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$;
• mátrix oszlopvektoraival: $det{\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{pmatrix}}$;
• a mátrixelemek megadásával: $det{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&&\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}$, illetve ${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&&\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}$.

---

A mátrix determinánsának kiszámításához a Pythonban a numpy vagy a scipy könyvtárakat használhatjuk. Az alábbiakban bemutatok példákat a numpy könyvtár segítségével, amely a legelterjedtebb eszköz a mátrixok kezelésére.

---

Determináns számítása numpy segítségével

1. Egyszerű példa egy 2x2-es mátrixra

import numpy as np

# Mátrix definiálása
matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# Determináns kiszámítása
det = np.linalg.det(matrix)

print(f"A mátrix:\n{matrix}")
print(f"A determináns értéke: {det}")

2. Nagyobb mátrix (pl. 3x3 vagy annál nagyobb)

import numpy as np

# Mátrix definiálása
matrix = np.array([[2, 1, 3],
                   [1, 2, 1],
                   [3, 1, 2]])

# Determináns kiszámítása
det = np.linalg.det(matrix)

print(f"A mátrix:\n{matrix}")
print(f"A determináns értéke: {det}")

---

Determináns kerekítése

A numpy.linalg.det által visszaadott érték lebegőpontos szám, amely apró pontatlanságokat tartalmazhat. A kerekítéshez használhatjuk a round függvényt.

det = round(np.linalg.det(matrix), 2)
print(f"A determináns kerekített értéke: {det}")

---

Interaktív program determináns számítására

Az alábbi program lehetőséget biztosít egyedi mátrix megadására a felhasználótól:

import numpy as np

# Mátrix bekérése a felhasználótól
n = int(input("Add meg a mátrix méretét (n x n): "))
matrix = []

print("Add meg a mátrix elemeit soronként (szóközzel elválasztva):")
for i in range(n):
    row = list(map(float, input(f"{i+1}. sor: ").split()))
    matrix.append(row)

matrix = np.array(matrix)

# Determináns kiszámítása
det = np.linalg.det(matrix)

print(f"A megadott mátrix:\n{matrix}")
print(f"A determináns értéke: {det:.2f}")

Példa futásra:

Add meg a mátrix méretét (n x n): 3
Add meg a mátrix elemeit soronként (szóközzel elválasztva):
1. sor: 2 1 3
2. sor: 1 2 1
3. sor: 3 1 2
A megadott mátrix:
[[2. 1. 3.]
 [1. 2. 1.]
 [3. 1. 2.]]
A determináns értéke: -12.00

---

Hasznos megjegyzések

1. Ellenőrzések:
   • A mátrixnak négyzetesnek (n x n) kell lennie, különben a determináns nem értelmezhető.
2. Kerekítés:
   • A determináns lebegőpontos eredménye miatt érdemes a kimenetet kerekíteni.
3. Nulla determináns:
   • Ha a determináns értéke 0, a mátrix szinguláris, azaz nem invertálható.

---

• angol: determinant of a matrix (en)

További információk

• mátrix determinánsa - Értelmező szótár (MEK)
• mátrix determinánsa - Etimológiai szótár (UMIL)
• mátrix determinánsa - Szótár.net (hu-hu)
• mátrix determinánsa - DeepL (hu-de)
• mátrix determinánsa - Яндекс (hu-ru)
• mátrix determinánsa - Google (hu-en)
• mátrix determinánsa - Helyesírási szótár (MTA)
• mátrix determinánsa - Wikidata
• mátrix determinánsa - Wikipédia (magyar)