Kiejtés IPA : [ ˈmaːtriɡzdɛtɛrminaːnʃɒ] Főnév mátrix determinánsa
( matematika , lineáris algebra ) A determináns a valós, négyzetes mátrixokhoz rendelt valós szám , ahol a hozzárendelés egy
R
n
×
n
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {R} }
függvényként van definiálva. Tulajdonságai levezethetőek a valós számok, mint test , tulajdonságaiból, így általánosabban is bevezethető a fogalom. A vegyes szorzat általánosításának tekinthető. Legyen
T
{\displaystyle T}
d
:
T
n
×
n
→
T
{\displaystyle d:T^{n\times n}\rightarrow T}
A
∈
T
n
×
n
{\displaystyle A\in T^{n\times n}}
a
i
j
∈
T
{\displaystyle a_{ij}\in T}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
determináns ának nevezzük az alábbi formula által hozzárendelt,
d
(
A
)
{\displaystyle d(A)}
d
(
A
)
:=
∑
(
i
1
,
i
2
,
…
,
i
n
)
(
−
1
)
I
(
i
1
,
i
2
,
…
,
i
n
)
∏
j
=
1
n
a
j
i
j
{\displaystyle d(A):=\sum _{(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n})}{(-1)^{I(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n})}\prod _{j=1}^{n}{a_{ji_{j}}}}}
(
i
1
,
i
2
,
…
,
i
n
)
{\displaystyle (i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}
(
1
,
2
,
…
,
n
)
{\displaystyle (1,2,\dots ,n)}
permutációja ,
I
(
i
1
,
i
2
,
…
,
i
n
)
{\displaystyle I(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}
inverziószáma ,a szumma pedig a permutációkra történő összegzés. A determináns néhány szokásos jelölése:
a mátrix megadásával:
d
e
t
(
A
)
{\displaystyle det(A)}
|
A
|
{\displaystyle |A|}
d
e
t
|
A
|
{\displaystyle det|A|}
vektorrendszerrel:
d
e
t
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle det(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}
mátrix oszlopvektoraival:
d
e
t
(
a
1
a
2
…
a
n
)
{\displaystyle det{\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{pmatrix}}}
a mátrixelemek megadásával:
d
e
t
(
a
11
a
12
…
a
1
n
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
…
a
n
n
)
{\displaystyle det{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&&\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}}
|
a
11
a
12
…
a
1
n
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
…
a
n
n
|
{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&&\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}}
