momentum

Magyar

Kiejtés

IPA: [ ˈmomɛntum]

Főnév

momentum

(matematika, valószínűségszámítás) A valószínűségszámításban egy valószínűségi változó momentumai több, a változó eloszlását jellemző számértéket is takarnak. Általánosan az X valószínűségi változó k-adik momentuma bármely k pozitív egész szám esetén az E(X^k) által felvett értékként határozható meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol E(X) az X várható értékét jelöli.

Az X valószínűségi változó k-adik momentumának jelölését tekintve a szakirodalom nem egységes. Sok esetben – a várható értéktől, szórástól, ferdeségtől vagy lapultságtól eltérően – nem szoktak külön jelölést bevezetni, hanem kiírják az E(X^k)-t. Találkozhatunk helyenként a μ_k = E(X^k) jelöléssel, más könyvekben viszont a μ_k a centrális momentumot jelöli.

Az eloszlásfüggvényt momentumainak sorozata meghatározza, amennyiben a momentumgeneráló függvény konvergens. Az előre megadott momentumokkal bíró eloszlás meghatározása a momentumprobléma, ami fontos a technikai mechanikában.

Vannak eloszlások, amelyeknek csak véges sok momentuma létezik. Ide tartoznak a t-eloszlások, amelyeknek csak olyan rendű momentumai vannak, amelyek kisebbek a szabadsági fokánál. Speciálisan, a Cauchy-eloszlás esetén már első momentum, a várható érték sincs; ugyanez a helyzet a Lévy-eloszlással.

Definíció

Legyen $X$ valószínűségi változó, és $k$ természetes szám. Ekkor $X$ $k$ -adrendű momentuma vagy $k$ -adik momentuma $X$ $k$ ‑-adik hatványának várható értéke, feltéve, hogy az létezik:

m_{k}:=\operatorname {E} \left(X^{k}\right),

$X$ $k$ -adik abszolút momentuma az $|X|$ abszolútérték $k$ -adik hatványának várható értéke:

M_{k}:=\operatorname {E} \left(\left|X\right|^{k}\right).

Elméleti vizsgálatokban a $k$ nem feltétlenül egész, ilyenkor $\kappa$ -val jelölik. Bizonyos rendű momentumok létezése az egész eloszlást jellemzi általánosan. Az első momentum a várható érték. Gyakori jelölése: $\mu$ , és az eloszlás középértékének tekinthető.

Valós valószínűségi változó momentumai

Legyen $X$ az $(\Omega ,\Sigma ,P)$ valószínűségi mezőn értelmezve és eloszlásfüggvénye $F_{X}(x)=P(X\leq x)$ . Ekkor a momentumok kifejezhetők Stieltjes-integrállal a várható érték definíciója alapján:

m_{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}\,\mathrm {d} F_{X}(x)

.

Ha $X$ abszolút folytonos valószínűségi változó, és sűrűségfüggvénye $f_{X}$ , akkor:

m_{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x

,

Diszkrét valószínűségi változó esetén, aminek értékei $x_{i}$ és valószínűségei $p_{i}=P(X=x_{i})$ :

m_{k}=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{k}\cdot p_{i}

.

A $P$ valószínégi mérték szerinti Lebesgue-integrállal ezek egységesen:

m_{k}=\int _{\Omega }X^{k}\,\mathrm {d} P

.

Centrális momentumok

A fent definiált momentumok mellett centrális momentumokat is értelmeznek, amelyek figyelembe veszik a várható értéket is.

\mu _{k}:=\operatorname {E} \left(\left(X-\mu \right)^{k}\right)

és

{\bar {\mu }}_{k}:=\operatorname {E} \left(\left|X-\mu \right|^{k}\right).

Az első abszolút centrális momentum a standard abszolút eltérés:

{\bar {\mu }}_{1}:=\operatorname {E} \left(\left|X-\mu \right|\right).

A második centrális momentum a szórásnégyzet:

\mu _{2}=\operatorname {E} \left(\left(X-\mu \right)^{2}\right)

A harmadikból és a negyedikből számítják a ferdeséget és a lapultságot. A ferdeség a szimmetrikustól való eltérést, a lapultság az eloszlás alakját jellemzi. Magasabb momentumoknak is nevezik őket.

Momentumok, karakterisztikus függvény és kumulánsok

A karakterisztikus függvény képletének többszörös deriválásával kifejezhetjük a közönséges momentumokat a karakterisztikus függvénnyel

\operatorname {E} (X^{k})={\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{i^{k}}}\quad (k=1,2,\dots )

A momentumgeneráló függvényből is megkaphatók a momentumok. A $k$ -adik momentum kifejezhető az első $k$ kumuláns $\kappa _{1},\dots ,\kappa _{k}$ polinomjaként. Ez éppen a $B_{k}$ $k$ -adik teljes Bell-polinom: